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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 z=[8"S  
M+*<#epu  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. I{\IE8z@  
~9 [Yb Ek  
　　1、三角函数本质： >z CAm7  
7jI(!gCR  
　　三角函数的本质来源于定义 umbx$J(  
j|F{Jc 25L  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 i u/bj6  
X{FTCmP{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 86P +y c  
&[^thL}rr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Qx/jUt)9.  
~V_TKCn1  
　　推导： k7-0/UBr  
2Y E(#'u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ]3 Po,=  
F0I a+O35  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Um7Q6yy/N-  
nCb_u^V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Ss=i`B  
}bvZL5A  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ,4_J:.CP  
!D`R+ uRE  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） J]}:4SF9  
tMy #|ZOv8  
　　[1] kAyKTi ds  
/ZkcorH  
　　两角和公式 b Wd%i'B/L  
h 1EiS  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 96GCmq}+  
^HnMNc?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  DT> {TM  
)<`3JM4|7{  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Mi{:p\O  
n#R7(:ey  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB <%"^x Do{m  
$QZ9\r#p'  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) >h{LQ,Zq  
E Ss2  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) o 'o.X&7Bi  
${8AWY'l1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  h5kI=I@s  
4 0IOn\  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v}ApYn5i  
e2^G#+ b  
倍角公式 ,mu< u 5@  
U;Fd"  
　　Sin2A=2SinA•CosA 63mCp  
DJ^ p  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @>H{L&bold  
'!$4 h8nF  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） OMP_ z1  
`.Sn"~n0H  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ,) ^pX5D  
g0 ,'Y#Y  
三倍角公式 Dx sINRa  
p5{C/v=Z4  
　　 ,KqZdpV&  
Hlxx!C9u  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) v.0W;F  
mV.^,#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) zRaS{J  
m\{qb"7=4R  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) DEGo\P]  
Az@|}Co  
三倍角公式推导 5*^N(bW  
sjNd4A  
　　sin3a :uQ7$e<M  
*@U~0>f }  
　　=sin(2a+a) 7-, (5Ov  
&Z Rjw  
　　=sin2acosa+cos2asina a%xZ[i6y  
^MuQsU~Gf  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E0pEi\BC  
a _pOAN  
　　=3sina-4sin³a /*w>K+/  
po $en21  
　　cos3a 3H 4# ']  
"B-d\  
　　=cos(2a+a) c}&a4F  
P#VRJw  
　　=cos2acosa-sin2asina k)!:"Z*  
%D:MM=(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa uS1?UGq6v  
/u/twa[Q  
　　=4cos³a-3cosa 1 *p},y  
&[QU`N-O  
　　sin3a=3sina-4sin³a  7Ho L8  
dv60k&H  
　　=4sina(3/4-sin²a) L6XZc3  
v?6c2JIT4u  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Iv4 .A#  
H y4|kgfc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 6d=kp  
B{'`1$'a.  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) t_T:6v  
|l <rlrn  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] luzHo6dm)  
)qycx~>  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w^1( =z.)"  
C1FBRWGu!v  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Y|$MM3  
_vO$wLI  
　　=4cosa(cos²a-3/4) W:>I94B=  
&~I$T"Kp  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2tTNA9D g1  
G #W~6,A  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) u@sJp`IW  
BJa761"|  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^9^,Uk  
~B}6R|*,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 46,yqm  
y4hy,4s+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) pW/'gSQ  
'@7a k(>P  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] /D%nG4\B  
I h9xy  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .P21YyHz  
a6<hQexf  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mh!u$^e  
RVICYi/{  
　　上述两式相比可得 -WJyBI <  
I +IuOj  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) "ig4Ir  
E cb"8lb?  
半角公式 [&2Z %L!9  
5qI{t  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ."R`]i =  
BXDnW:voI-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. nPBw_a7<  
l5!9up^A  
和差化积 },ck$fov  
H2X  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N/b)S;'  
&6\2-M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c<OlwG^  
pT|a:$z%  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] { )6P$F  
Hz0<$O_9  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OblT=j8T9  
"L;`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) t:D gfM  
Y h>H}1 3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ZCwm-%8Vd  
?\z~^(  
积化和差 FcBC |M-  
jx#aY0L;1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] K,:~@$e  
i!XZ/x  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xGzg YQ  
F]k&Kjt]A^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] lVc}$n  
J^p!M71(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MLm]Min<  
S#7tY   
诱导公式 E: l29&  
P3;(j:?$a  
　　sin(-α) = -sinα LsEX>$   
\2H Z %ibO  
　　cos(-α) = cosα Xo,ZMG3INb  
_jv &=Qe  
　　sin(π/2-α) = cosα h4J9CNIk  
_3[}_R#z`  
　　cos(π/2-α) = sinα nY/ELx2#K%  
7F {G ]>  
　　sin(π/2+α) = cosα A+AdgX  
Y^}_fV~SM  
　　cos(π/2+α) = -sinα j( B%"T%p  
(n'==ED  
　　sin(π-α) = sinα =6w~SiY_[  
}s$i'j9:  
　　cos(π-α) = -cosα c=cR+IJ"^  
`)r;'$?.  
　　sin(π+α) = -sinα [L-7)FAg  
D7R^=kIm  
　　cos(π+α) = -cosα XJ*st\  
V:f<1kc  
　　tanA= sinA/cosA Q~%bp@ >r  
q 'wT7@(  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |X^{!VXM>  
^0?/$|  
　　tan（π/2－α）＝cotα oy2WUD$aMm  
y>J1a  
　　tan（π－α）＝－tanα OT"'/zEg  
Y6AjUMZ  
　　tan（π＋α）＝tanα j7Kd 9<U=  
qeMXiC<C+  
万能公式 9QJ O v  
Ge\/NPsZ  
　　 5%llGf(tL  
=NI&Sd.Q  
其它公式 M{ 0Zu>  
Pts8MOok  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1t!@%WVn  
XA3Xf-2YI  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 o>_u9A-W  
`a'8(s  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LbEk;mz3  
<#M_G@;i+  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 b7m`5Y  
oms(P6B  
　　对于任意非直角三角形,总有 gSj|_ 4Pw  
C8BW^mSw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _=9g}~L-  
,YAcL &NN  
　　证: :VN c[ dV>  
E>rR^"-  
　　A+B=π-C #+9E+G  
xOqs{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `A5f0^0[+  
|+sh%H9 <W  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) OZ_!G=l  
4DlU7wCF&  
　　整理可得 Qwbe]s  
.e"aA \w  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s01RxS]Ae'  
[x1lYfct  
　　得证 !}5l)M  
":w~:|4an  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l#1v{MvD  
w"g?wa?h6  
其他非重点三角函数 W5?iJ`e-2  
sH}lYs4  
　　csc(a) = 1/sin(a) ab%|NP*\G  
dNw~05E%6w  
　　sec(a) = 1/cos(a) I0H/=1ig]  
o^t.HUw^  
　　 \u>7447  
!L=;bQ)IH  
双曲函数 [b. 19F2  
J6|.ch  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 A!6 'J8Fw  
[cNE  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 O$]D|Me  
E d&egUX  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ` HITJksKP  
:AT5M<C=  
　　公式一： BL)l#;vj  
4^wE2Y[]a!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： tBr+:CDt  
2*AD3(  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Z2Ifs{z y  
Rz:6hdG  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Vp3gcD  
c)h)e/  
　　tan（kπ＋α）= tanα 6NLJ/tW  
VjYueO)  
　　cot（kπ＋α）= cotα Zi&gnRd%  
y u\>c4/TH  
　　公式二： vK1K2&0 j  
hk'hD} C  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2 iEraoxU  
[n1)dyu  
　　sin（π＋α）= -sinα J#-vgz6O  
*g?J<MM  
　　cos（π＋α）= -cosα \%4O~(mt  
aOe~Ms3>W  
　　tan（π＋α）= tanα Eas"jE{6/  
^:m]W5B,~  
　　cot（π＋α）= cotα OMQI}&i!  
Sq@*[<s  
　　公式三： 17Mhe}x3]  
Dm3+5"c!Ge  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 084,2h7#@/  
N]O Pc +  
　　sin（-α）= -sinα !&G@Q"$o  
63Uc0~ #  
　　cos（-α）= cosα *Is/y8Y\ Q  
VX5"3xt43  
　　tan（-α）= -tanα H ,X?qAh  
$ kn,$  
　　cot（-α）= -cotα A$+klI  
%*_[.2:4  
　　公式四： ,nOA^`+  
= qc/;y  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： pMz@ ]1h  
'+f)x%  
　　sin（π-α）= sinα Viy=;  
H(4W:g(DG!  
　　cos（π-α）= -cosα B5>oFvutn  
T[Q>e)`  
　　tan（π-α）= -tanα }Tga5Da'  
{mc*vis  
　　cot（π-α）= -cotα 6$>s# HM  
*[\#!Cy  
　　公式五： _E+ 5o0ID  
{84 L L*  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： oPj5`Bi  
\ }ch"I  
　　sin（2π-α）= -sinα F:hFV5vqw  
lS  s|y  
　　cos（2π-α）= cosα ! !__M,  
/ ! nH8!  
　　tan（2π-α）= -tanα no lyD>XM  
gSPy:E_   
　　cot（2π-α）= -cotα 4(IvFuljI  
p)A>6J; @  
　　公式六： -Uy9  
\S(bdf{P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :&E[=  
igUWM[[!}  
　　sin（π/2+α）= cosα hZH3|HtB  
U=rP2s|K  
　　cos（π/2+α）= -sinα QAy(S$  
$ CA]<KF  
　　tan（π/2+α）= -cotα 2{bgw:2q  
=#ECM)"I  
　　cot（π/2+α）= -tanα 6%|<=.  
#V$90Ujgxh  
　　sin（π/2-α）= cosα =t(G"$,^.  
m%}(@,&:C  
　　cos（π/2-α）= sinα lj9uHP  
#30f5L  
　　tan（π/2-α）= cotα f zD ;b  
P.IKOEOT4m  
　　cot（π/2-α）= tanα 2 XOXyPw*  
:l@Pn;\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 5mk8?b}  
1l.6Q0  
　　cos（3π/2+α）= sinα PF*%W C  
<x<,kD^[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Mk. }u Y  
tck ] <j  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5 R\[SMG  
K5[C$ ][  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5M% ,4S;v  
uS 1NRk(  
　　cos（3π/2-α）= -sinα oItx]D!  
u~I2T(Wp&V  
　　tan（3π/2-α）= cotα k@ 1H}I{  
)hON$)Eiy  
　　cot（3π/2-α）= tanα yk`r5$y u  
'*t:0-I|  
　　(以上k∈Z) @pP3um%+  
GW\cTB<mA  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 /@)3u4(  
QNhVdeQ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ] ty^]   
8wHqRGt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } NM "ph  
sC&RET|}  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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