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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 wqY <ZK  
w@O@?<)G  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +B<wo G  
04[E.)kz  
  1、三角函数本质: d06o-e  
0I teF  
  三角函数的本质来源于定义 ;feH0,{]  
B+"g'\  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ^k:Fe Sh}4  
>]]x~HcZAJ  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 I)3-8*  
?V\zo\d  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: XlU"c^8  
j:e?E`  
  推导: H#5I! MQ~V  
 r$ta/JL  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 &a4}V=po  
}d4q:ph   
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vgP5,J| g  
A*d9Net=  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )}o[vvA  
N`z}S`iH_  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 w]N,j"{$  
l&JSeHJ)t  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) !,g4-To$J  
WSihn\)  
  [1] BIR@?Y  
0 j!:vUD  
  两角和公式 `@ieSwN  
iQuIQ{\8U  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #(y.et[Po  
v9,R'^_E  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7i3.1P>Ro  
m2Z*&)  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R@SKn-":VI  
8W@=.JoV  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OD=sy.<p  
485=xAiY'S  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Q lH;;=o  
l(f<^8t  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %^<~Oy  
qsGasi,~  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  M$tn1rGDxo  
W@Z?o`W  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) M'.Sqr0L  
q_(3! ,  
倍角公式 /. SOvD  
![8X`s3  
  Sin2A=2SinA•CosA ;fE)V>#  
nCxo/Ug  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ya}se{4{  
2Y/p#eUT  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) "*_DKI,  
dgG(1>,  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) J> s}ShT  
@.^l#F-5V9  
三倍角公式 6F{ x"*3  
_J z,n*  
   o%ef']7l  
Uqm":WXZ  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Cb<u(Yz5  
]RN1"cnV  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) AF &IJc,-  
aYzAr U}  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) tkC2Zed5  
_ b*'AG$?6  
三倍角公式推导 | T+_n  
=5;ZQ{oN  
  sin3a -pky]SK@~  
NWJw~5RU  
  =sin(2a+a) /pP b  
[3">3>  
  =sin2acosa+cos2asina 2vahVL  
Ol qM18n  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina c>|%!D_  
[p@1*%0  
  =3sina-4sin³a ?r FAKf  
mD0vu);I  
  cos3a ])&CDLFE  
.;h06&  
  =cos(2a+a) rDL8:4BW  
 9[gO<w/  
  =cos2acosa-sin2asina N]VW$$T  
uo _*Qjz  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 6,' 0oI7  
5-&%8J  
  =4cos³a-3cosa i&653M  
\yV~hu 1V  
  sin3a=3sina-4sin³a ^2:*W#  
aGY1C9+v"6  
  =4sina(3/4-sin²a) RZ]a<?P|  
0J_CAaE  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 9ponJx   
F?4p1GZf  
  =4sina(sin²60°-sin²a) eY2?XC  
_kkGrLl^  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +-~$/v#0  
BpEw'bpuO  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m\~'L&G5i  
> j&V:@V{  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,mz -Zv1;  
$i\jcJ*D  
  cos3a=4cos³a-3cosa hCXN5PC4t  
wO]*Oy l  
  =4cosa(cos²a-3/4) #m8ui-  
?/S*jn$7  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] CesVL]/q  
`Hg (|}  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) > G]   
RU+K~A0  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )n7%*  
8z2e!Zl c  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?] #UkY}b  
,$^}.fp7  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) b SX* Cg  
QkApM'?<3D  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] eDCHSLf^  
r2xeV*,K9  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |]n {]Y  
EAtiPgK  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) esU wnL7  
[E%Lv%>$X  
  上述两式相比可得 7v7Yqgr/  
ecNJCP:n  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) b`bgtv'P  
I/h'Q;4Y?  
半角公式 DBD|NR?  
{Ms+ 7Df  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #ve7s-Ll  
k97?$Dg%$R  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S+dH1Gk#I  
(dogD"OP{  
和差化积 &zc5 Rv`  
^aLZDg  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Pf6 &Q}a  
`:GyI*o  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 42&<8/+(b  
hZ8r c6H  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %[vk)^f&9  
EhpC';eJ'  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DM9+;5  
DQb6tr  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =W``k}W6  
_ f:f-yQk  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) L[@tF^ t@  
+z0PU m[h  
积化和差 RR)cr86vb  
73#?5yRI;M  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] K *1 sq  
,!zd"z4M  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >V@b9Eng  
VH!Q2Kh  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #p`2t( 6ft  
^b| B5  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [-eS1l ;  
k(A,EptB  
诱导公式 g0[dT  
ge55BTE  
  sin(-α) = -sinα ~vxQZV3  
k%]]Wk5R  
  cos(-α) = cosα l$9j^Qv[l  
;d% I&+c  
  sin(π/2-α) = cosα I':}zd\A4  
]~V  
  cos(π/2-α) = sinα @0e36{&/$  
+)riM284  
  sin(π/2+α) = cosα  QU.f2rA  
j\dG`  
  cos(π/2+α) = -sinα hw2ElW  
Dh,1_(n5  
  sin(π-α) = sinα j &Mhb0  
V$ff8I  
  cos(π-α) = -cosα 9x% _%  
6AQG-o=S~  
  sin(π+α) = -sinα |$H0(; VjM  
Kb> _OKw  
  cos(π+α) = -cosα f.%48LU  
{ G'F%/M  
  tanA= sinA/cosA qEGZ`_  
K3z~SUTRo  
  tan(π/2+α)=-cotα *LOD~Z5  
AWA:x}$  
  tan(π/2-α)=cotα a$_#pGkh.  
ZwD0kF^;M\  
  tan(π-α)=-tanα f#tRBCF|  
B" Cl  
  tan(π+α)=tanα S[L6ly  
45n7=0A=  
万能公式 o GV*ZQ8}  
9b f1anv  
   F.\6{*,{0i  
S4b-u+%  
其它公式 2@q3[=o\  
IvWIS]d  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 8J[:PWW\  
6!a0cB0 (  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 Le`4]LgI  
eWvt(I"h  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 2Cv]? -Q  
4%`4UK<U  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Fk9WEUkk  
W% ms, I  
  对于任意非直角三角形,总有 &oN0)Kc/  
#b/q=`Xq|  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Fx?w5tM  
@*CuOw;fp  
  证: v?=Us'gOO  
V!5>=#%  
  A+B=π-C [&8}4ht {  
BAIwV9U\4  
  tan(A+B)=tan(π-C) 59 g[?BS  
sN)/L5  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) f+/\>vXL  
]LXxX   
  整理可得 [|BL$8*=U  
i$2oF0  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6,ttt  
s|W*tL5]  
  得证 kY{Hc3+  
4DTy.\54T  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 a }cG. Sl  
22;"D Lw  
其他非重点三角函数 #L!S^CC:  
-L JCN  
  csc(a) = 1/sin(a) #1- i*5O  
)VePwBD7  
  sec(a) = 1/cos(a) 4|`h*Xo[  
s"C-D*e#c~  
   x!6,{l o  
I7;;Sr  
双曲函数 CRADRF|C  
Lf\EK!$&5\  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D0Sj>  
p^#Gd5  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !LOml&dUq  
:N0:s~  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) IO^.1sq69  
5tHs-_fT  
  公式一: MGT1H2t0  
K,F$F[isQ  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Xoj$d8  
w'Vlwe&E  
  sin(2kπ+α)= sinα uApcXMS*B  
v(]lZ4r;  
  cos(2kπ+α)= cosα "s>H]  
*"'1 W;  
  tan(kπ+α)= tanα  e;Ikh  
6bT': Oh?Y  
  cot(kπ+α)= cotα Ok~V[$uin  
gH#Kt  
  公式二: bh0_la( u  
D,F ,F;7  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: r"x)4DQ  
YB*Noth6H  
  sin(π+α)= -sinα oFJ_$DHQg  
Ly >B.CP  
  cos(π+α)= -cosα |? p"Y  
*E6TG$wb  
  tan(π+α)= tanα BFZ8\Ck>2  
{ZK5"'Q  
  cot(π+α)= cotα 485,E.\E  
?iL/H=Z  
  公式三: {a[yi9MJ  
Yee:X**$86  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 0HD[X$/  
z4n%98F=  
  sin(-α)= -sinα y,Iv=3^  
zIJ>*/  
  cos(-α)= cosα <:sZX ,o  
7!)%x3 S  
  tan(-α)= -tanα =| %E\~  
/hO|Nq W  
  cot(-α)= -cotα E@r8?dDj`  
J: ]8~v{c  
  公式四: e ]-lGz39  
_ Osz!E3PF  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: fn-NrU-O1P  
G(ghru%`F  
  sin(π-α)= sinα  F)5[!=*  
5oc'7~t;  
  cos(π-α)= -cosα rPZor)jW  
td1l.P2.  
  tan(π-α)= -tanα ^WyXov y  
cbQ7T/r  
  cot(π-α)= -cotα  ]f'!$u  
`wJj=  
  公式五: ljT1B &o7_  
0;vZ`V=  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 4rJC(Ppu  
XAK&8aB  
  sin(2π-α)= -sinα Sk3gMy7  
7<UwN21  
  cos(2π-α)= cosα C1Sk~<  
+}8}Go  
  tan(2π-α)= -tanα 7-b_8")  
&]u LC   
  cot(2π-α)= -cotα .<y3 ]  
CQ'a6;FQ&  
  公式六: UjZagVI  
7 J$G~:5  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 0vaUYh7G  
#3vel{k>  
  sin(π/2+α)= cosα nrRkPDKk  
s(-T~-<  
  cos(π/2+α)= -sinα P**-c-Ge  
[I[v7_\fY  
  tan(π/2+α)= -cotα ubn?Tn7  
}9y"H,^l  
  cot(π/2+α)= -tanα *nNK4Pe}  
.} bC!  
  sin(π/2-α)= cosα 9 LTEd-  
%@ A`fYm  
  cos(π/2-α)= sinα ]xtK^RG  
S(nN(QV<~W  
  tan(π/2-α)= cotα ^3+ ^rq %  
)OK`0/e  
  cot(π/2-α)= tanα X;?\&G[  
u`NTZ;\)"  
  sin(3π/2+α)= -cosα F{Y[$0,_s  
LeOd~,mK=  
  cos(3π/2+α)= sinα F*kMgm$;I  
1Pb},aq`-  
  tan(3π/2+α)= -cotα IJ QJi  
3pL*Vu  
  cot(3π/2+α)= -tanα ~!z=2u7  
v*#SE]  
  sin(3π/2-α)= -cosα p]K;my{  
),V2oj5H  
  cos(3π/2-α)= -sinα \g0+,_cT  
mKg?9hv   
  tan(3π/2-α)= cotα To; 9Q1~*  
^-HVlu ? E  
  cot(3π/2-α)= tanα re2iSNq  
""+Cp/a/y  
  (以上k∈Z) +x@b&rJQ}  
aG] u:  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 G>ut"!  
uv>wY0v@  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &6X=W @9  
'QLEftY  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } H}!I9]sL?  
LG|o}^4NK  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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