三角函数内容规律 wqY
<ZK
w@O@?<)G
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +B<wo G
04[E.)kz
1、三角函数本质: d06o-e
0I teF
三角函数的本质来源于定义 ;feH0,{]
B+"g'\
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ^k:Fe Sh}4
>]]x~HcZAJ
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 I)3-8*
?V\zo\d
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: XlU"c^8
j:e?E`
推导: H#5I!
MQ~V
r$ta/JL
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 &a4}V=po
}d4q:ph
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vgP5,J| g
A*d9Net=
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )}o[vvA
N`z}S`iH_
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 w]N,j"{$
l&JSeHJ)t
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) !,g4-To$J
WSihn\)
[1] BIR@?Y
0
j!:vUD
两角和公式 `@ieSwN
iQuIQ{\8U
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #(y.et[Po
v9,R'^_E
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 7i3.1P>Ro
m2Z*&)
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R@SKn-":VI
8W@ =.JoV
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OD=sy.<p
485=xAiY'S
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Q
lH;;=o
l(f<^8t
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %^<~Oy
qsGasi,~
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) M$tn1rGDxo
W@Z?o`W
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) M'.Sqr0L
q_(3!,
倍角公式 /.SOvD
![8X`s3
Sin2A=2SinA•CosA ;fE)V>#
nCxo/Ug
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
ya}se{4{
2Y/p#eUT
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) "*_DKI,
dgG(1>,
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) J>
s}ShT
@.^l#F-5V9
三倍角公式 6F{ x "*3
_J z,n*
o%ef']7l
Uqm": WXZ
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Cb<u(Yz5
]RN1"cnV
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) AF &IJc,-
aYzArU}
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
tkC2Zed5
_ b*'AG$?6
三倍角公式推导 | T+_n
=5;ZQ{oN
sin3a -pky]SK@~
NWJw~5RU
=sin(2a+a) /pPb
[3">3>
=sin2acosa+cos2asina 2 vahVL
Ol qM18 n
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina c>|%!D_
[p@1*%0
=3sina-4sin³a ?r FAKf
mD0vu);I
cos3a ])&CDLFE
.;h06&
=cos(2a+a) rDL8:4BW
9[gO<w/
=cos2acosa-sin2asina N]VW$$T
uo_*Qjz
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 6,'0oI7
5-&%8J
=4cos³a-3cosa i&653M
\yV~hu1V
sin3a=3sina-4sin³a ^2:*W#
aGY1C9+v"6
=4sina(3/4-sin²a) RZ]a<?P|
0J_CAaE
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9ponJx
F?4p1GZf
=4sina(sin²60°-sin²a) eY2 ?XC
_kkGrLl^
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +-~$/v#0
BpEw'bpuO
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m\~'L&G5i
>
j&V:@V{
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,mz -Zv1;
$i\jcJ*D
cos3a=4cos³a-3cosa hCXN5PC4t
wO]*Oyl
=4cosa(cos²a-3/4) #m8ui-
?/S*jn$7
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] CesVL]/q
`Hg (|}
=4cosa(cos²a-cos²30°) >G]
RU+K~A0
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )n7%*
8z2e!Zlc
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?]#UkY}b
,$^}.fp7
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) bSX*Cg
QkApM'?<3D
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] eDCHSLf^
r2xeV*,K9
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |]n
{]Y
EAtiPgK
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) esUwnL7
[E%Lv%>$X
上述两式相比可得 7v7Yqgr/
ecNJCP:n
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) b`bgtv'P
I/h'Q;4Y?
半角公式 DBD| NR?
{Ms+7Df
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #ve7s-Ll
k97?$Dg%$R
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S+dH1Gk#I
(dogD"OP{
和差化积 &zc5Rv`
^aLZDg
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Pf6&Q}a
`:GyI*o
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 42&<8/+(b
hZ8r c6H
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %[vk)^f&9
EhpC';eJ'
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DM9+;5
D Qb6tr
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =W``k}W6
_
f:f- yQk
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) L[@tF^
t@
+z0PUm[h
积化和差 RR)cr86vb
73#?5yRI;M
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] K
*1
sq
,!zd"z4M
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >V@b9Eng
VH!Q2Kh
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #p`2t(
6ft
^b|
B5
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [-eS1l;
k(A,EptB
诱导公式 g0[dT
ge55BTE
sin(-α) = -sinα ~vxQZV3
k%]]Wk5R
cos(-α) = cosα l$9j^Qv [l
;d%
I&+c
sin(π/2-α) = cosα I':}zd\A4
]~V
cos(π/2-α) = sinα @0e36 {&/$
+)riM284
sin(π/2+α) = cosα QU.f2rA
j\dG`
cos(π/2+α) = -sinα hw2ElW
Dh,1_(n5
sin(π-α) = sinα j
&Mhb0
V$ff 8I
cos(π-α) = -cosα 9x%
_%
6AQG-o=S~
sin(π+α) = -sinα |$H0(;
VjM
Kb>
_OKw
cos(π+α) = -cosα f.%48LU
{G'F%/M
tanA= sinA/cosA qEGZ`_
K3z~SUTRo
tan(π/2+α)=-cotα *LOD~Z5
AWA:x}$
tan(π/2-α)=cotα a$_#pGkh.
ZwD0kF^;M\
tan(π-α)=-tanα f#tRBCF|
B" Cl
tan(π+α)=tanα S[L6ly
45n7=0A=
万能公式 oGV*ZQ8}
9b f1anv
F.\6{*,{0i
S4b-u+%
其它公式 2@q3[=o\
IvWIS]d
(sinα)^2+(cosα)^2=1 8J[:PWW\
6!a0cB0
(
1+(tanα)^2=(secα)^2 Le`4]LgI
eWvt(I"h
1+(cotα)^2=(cscα)^2 2Cv]?-Q
4%`4UK<U
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Fk9WEUkk
W% ms,I
对于任意非直角三角形,总有 &oN0)Kc/
#b/q=`Xq|
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Fx?w5tM
@*CuOw;fp
证: v?=Us'gOO
V!5>=#%
A+B=π-C [&8}4ht {
BA IwV9U\4
tan(A+B)=tan(π-C) 59
g[?BS
sN)/L5
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) f+/\>vXL
]LXxX
整理可得 [|BL$8*=U
i$2oF0
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6,ttt
s|W*tL5]
得证 kY{Hc3+
4DTy.\54T
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 a}cG.Sl
22;"D
Lw
其他非重点三角函数 #L!S^CC:
-L JCN
csc(a) = 1/sin(a) #1- i*5O
)VePwBD7
sec(a) = 1/cos(a) 4|`h*Xo[
s"C-D*e#c~
x!6,{l
o
I 7;;Sr
双曲函数 CRADRF|C
Lf\EK!$&5\
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
D0Sj>
p^#Gd5
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !LOml&dUq
:N0:s~
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) IO^.1sq69
5tHs-_fT
公式一: MGT1H2t0
K,F$F[isQ
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Xoj$d8
w'Vlwe&E
sin(2kπ+α)= sinα uApcXMS*B
v(]lZ4r;
cos(2kπ+α)= cosα "s>H]
*"'1 W;
tan(kπ+α)= tanα
e;Ikh
6bT': Oh?Y
cot(kπ+α)= cotα Ok~V[$uin
gH#Kt
公式二: bh0_la(u
D,F
,F;7
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: r"x)4DQ
YB*Noth6H
sin(π+α)= -sinα oFJ_$DHQg
Ly>B.CP
cos(π+α)= -cosα |? p"Y
*E6TG$wb
tan(π+α)= tanα BFZ8\Ck>2
{ZK5"'Q
cot(π+α)= cotα 485,E.\E
?iL/H=Z
公式三: {a[yi9MJ
Yee:X**$86
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 0HD[X$/
z4n%98F=
sin(-α)= -sinα y,Iv=3^
zIJ>*/
cos(-α)= cosα <:sZX,o
7!)%x3 S
tan(-α)= -tanα =|%E\~
/hO|Nq W
cot(-α)= -cotα E@r8?dDj`
J: ]8~v{c
公式四: e
]-lGz39
_ Osz!E3PF
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: fn-NrU-O1P
G(ghru%`F
sin(π-α)= sinα F)5[!=*
5oc'7~t;
cos(π-α)= -cosα rPZor)jW
td1l.P2.
tan(π-α)= -tanα ^WyXovy
cbQ7T/r
cot(π-α)= -cotα ]f'!$u
`wJj=
公式五: ljT1B&o7_
0;vZ`V=
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 4rJC(Ppu
XAK&8aB
sin(2π-α)= -sinα Sk3gMy7
7<UwN21
cos(2π-α)= cosα C1Sk~<
+}8}Go
tan(2π-α)= -tanα 7-b_8")
&]u LC
cot(2π-α)= -cotα .<y3
]
CQ'a6;FQ&
公式六: Uj ZagVI
7 J$G~:5
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 0vaUYh 7G
#3vel{k>
sin(π/2+α)= cosα nrRkPDKk
s(-T~-<
cos(π/2+α)= -sinα P**-c-Ge
[I[v7_\fY
tan(π/2+α)= -cotα ubn?Tn7
}9y"H,^l
cot(π/2+α)= -tanα *nNK4Pe}
.} bC!
sin(π/2-α)= cosα 9
LTEd-
%@A`fYm
cos(π/2-α)= sinα ] xtK^RG
S(nN(QV<~W
tan(π/2-α)= cotα ^3+^rq %
)OK`0/e
cot(π/2-α)= tanα X;?\&G[
u`NTZ;\)"
sin(3π/2+α)= -cosα F{Y[$0,_s
LeOd~,mK=
cos(3π/2+α)= sinα F*kMgm$;I
1Pb},aq`-
tan(3π/2+α)= -cotα IJ
QJi
3pL*Vu
cot(3π/2+α)= -tanα ~!z=2u7
v*#SE]
sin(3π/2-α)= -cosα p]K;my{
),V2oj5H
cos(3π/2-α)= -sinα \g0+,_cT
mKg?9hv
tan(3π/2-α)= cotα To;
9Q1~*
^-HVlu
?E
cot(3π/2-α)= tanα re2iSNq
""+Cp/a/y
(以上k∈Z) +x@b&rJQ}
aG] u:
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 G>ut"!
uv>wY0v@
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &6X=W@9
'QLEftY
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } H}!I9]sL?
LG|o}^4NK
√表示根号,包括{……}中的内容
![](theme/default/images/sigline.gif)
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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