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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *Vy)K(L  
%<Ms |=`:  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wT h]  
]m ofC$B'  
　　1、三角函数本质： 46]vR3a^  
I/IU-`  
　　三角函数的本质来源于定义 N9L=mp9  
]"%;(=HuO  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Hi?8RoZ  
1L8~.8\[%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 SC}aFM[  
$K5_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： m,TU;'X3S  
L0^wB  
　　推导： P&kEw52@P  
ESpHcHAu  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 MHq\q  
1[Zv^j   
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) eu9GeX9ZU  
]X({JYMt>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]5 2[}SEv  
bD2 c{jdd  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 s uQ  
eptv3$EC  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )c97| n&  
<~>L? J]  
　　[1] d8/ o>V  
.VXpcINU?6  
　　两角和公式 )xDc KsA  
kH#6D%&K  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N2th/SAB4  
LqZah-3r  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  6zO8_YsIc'  
ph;q9ZdU  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _,5?{LPFaH  
I 4'TiHGvU  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB kej=s4*.  
eP Y<(Ia  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) oB+LGkp  
"4Jh 3 ]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) _@XGc G4  
3=$~w>nl  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ^Q2E4;  
i Vvg>%&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) r'_:wu =*j  
J 6gR/yU1  
倍角公式 `J3&  
fNE tS4K  
　　Sin2A=2SinA•CosA F_/uW2  
s>q*[y]c  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 xVFH0An  
t@ctzob]  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） J?PYc>`<i  
~cmN-zGNY$  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） D5H{AO '~  
|)/n7>4IQi  
三倍角公式 K@oprv  
A+Ta"?ksT=  
　　 ')8z&4.t  
Yc4PGQ h  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) sA15C9!jm  
Bk9(R!1Yg4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) C x 8e.I"  
z<(5"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) S XOc9P  
VWFa MZj  
三倍角公式推导 ?k*{|}(  
OtN`{O a  
　　sin3a `fG]T *B  
a bjXwv56  
　　=sin(2a+a) q6]B8uPB4  
(4SO#Q%S[  
　　=sin2acosa+cos2asina tGws1Af"`  
(9H X!j{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Fp_1o`"W:y  
=\U J  
　　=3sina-4sin³a Y~6Pp\$g  
Ljsy.WAa  
　　cos3a rYJYUnk2s  
(^BO bs}  
　　=cos(2a+a) 5^x5e  
 \a .`^NI  
　　=cos2acosa-sin2asina YF\~b9Q7  
2 ;H*AG(?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ZI/.rv/  
(G. Y?`  
　　=4cos³a-3cosa j%360mBIF  
xFCGpENAHt  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,SZ0 _\  
wIq.=@]O  
　　=4sina(3/4-sin²a) JTN7 P  
#ldDg[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] bBl|-[xSp  
MRLqWwh;e2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1/JbH3>  
Hq/eQa'G\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) + G2u>*<  
)}i1>[>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] iN{b i;a#  
VG$GlY<}"?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) > ohE_1>   
,b>rC1F  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *eA8z0m<  
N@~<nMW1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) nFPt . #  
uY(hhx:  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] i=?6l pmN  
LP2"px(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) >U!L>Ie2(  
WR1j,UyFN  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Fv0 5,lR  
M_v^u!X$  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 86R:502k  
DnjHE>K  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8aDot&wj  
^[toj[4Ik  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Pu^QRa}6  
2P26 &8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] XZ`j  
bvK\}>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $]\(^Fj  
7~f"7rR 8  
　　上述两式相比可得 m5dg6O?  
7>5,:J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^{~wQM&W  
,Zr/@sN  
半角公式 gI3- 1 G  
N:7A*|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5_XI\oT  
}7DxPjO#  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. d]RBZN}Y  
'}Eo"%Gw  
和差化积 Y5w[ P  
y@1F6DCE:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ug8~~}^Y  
' elPS!  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OT4)g{  
"3FJ+ Z?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bN'-|0  
eb3 6D  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X9,ZPKNU3e  
'}0W(O  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) m2:p  
QwDAPoo  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) MuB) *  
-R4t9Fk  
积化和差 00kC{^O.  
_ B(z[yK  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] hS@~qa@  
a6#H-^h[x  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,1IbeX$A  
FV~R>R]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] MU('J[,|,  
Wv, NV?D9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] v "9xJx/  
36YmlA0/6  
诱导公式 - 6+aj3  
z8|?B{  
　　sin(-α) = -sinα ,-c Mw'.  
Y*%3K ;Vi}  
　　cos(-α) = cosα mQt R-M'R  
L? B  
　　sin(π/2-α) = cosα {5HM^} :d  
:!4YPn$  
　　cos(π/2-α) = sinα jH UsK^  
r&oFz2:1  
　　sin(π/2+α) = cosα {5]bZVe ?c  
\;MI?FBi  
　　cos(π/2+α) = -sinα |Q~</,q  
J| 'a^\o  
　　sin(π-α) = sinα CQKGN ;  
%=G4-phc  
　　cos(π-α) = -cosα WIs6 a#o1  
S$@&x601:$  
　　sin(π+α) = -sinα '4j PpVbY  
Hrv'u 8*8  
　　cos(π+α) = -cosα bo9}dr   
RQAUKY[-  
　　tanA= sinA/cosA ^/`P] '  
r@_j APS  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R,e04f:E  
t`!?&1)+  
　　tan（π/2－α）＝cotα `) 5( 45  
q3hpOGE=  
　　tan（π－α）＝－tanα gVeZwHSU  
!* pQq=  
　　tan（π＋α）＝tanα $|2Xml>b#r  
* Q E9I  
万能公式 F : FOV>  
@[0n=QZ  
　　 9pQ* jx  
42s tZQw  
其它公式 #8|i;.s  
yaJ9.2!_^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?S(oWGz  
Oy-1wdj  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M aY yZ!  
-MLR73W5c  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 x_nJv0:[ 9  
0-Q v]7X[  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 XU n3F   
6"'yW|5  
　　对于任意非直角三角形,总有 A #v|4[  
.W82ct61E  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC C HC, "[&  
}4Jlqj  
　　证: ?Bb;cg)h[  
qK:LOvA3y  
　　A+B=π-C $\.TaLa  
R..Q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) H_ P,euih  
Oy;w JNWv  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) nO`QU2oz  
t6Fe h^L  
　　整理可得 -AQIh& YL  
x$8 jj.rx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )V nSy!  
yX2?iWWN  
　　得证 Vnk6KT  
#F3qn  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;_6fNo8F  
Tj% c$RRM  
其他非重点三角函数 cgb-0  
$:JVgoU(  
　　csc(a) = 1/sin(a) c2bqp(("HY  
T6d^Jlt  
　　sec(a) = 1/cos(a) -&QIyQt;4  
eKX;x  
　　 oB8A/?r  
vf% ")NBa  
双曲函数 F`gRGC,  
Mw8gL !G  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -}vRHv L~q  
&MHO5nPo  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 # MRw@  
}NC-Wbc)  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ++/! lDsb  
ur=I\{$  
　　公式一： \hOv= U`nc  
\o ]8   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： b?U]QD  
Vt1F&UCU  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =tR5Ic  
ag nn  
　　cos（2kπ＋α）= cosα $sOO@z}M  
?(\f.F-7  
　　tan（kπ＋α）= tanα D^qPB X  
75JB}\l4  
　　cot（kπ＋α）= cotα CWhlGU=_ >  
n33\Cye"  
　　公式二： @ N^=?El7  
'2p"4]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  U\uY['  
"J#z0I)Y{u  
　　sin（π＋α）= -sinα 6!(*[ P3  
lvDwj,UF7  
　　cos（π＋α）= -cosα jR]qkV`h  
gpH]*1XH"*  
　　tan（π＋α）= tanα XqKKxE  
SoL3~KNb  
　　cot（π＋α）= cotα ~(?evU%|  
%} "A@X\1  
　　公式三： g@j, #&  
: ~e1?%n$  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： UMXxCfA  
!/Sr %  
　　sin（-α）= -sinα ?D1$ u|"u%  
1Z3 ?\yo  
　　cos（-α）= cosα #26O(T r  
$%e}=$H|O  
　　tan（-α）= -tanα 9jxX}  
`EdWB w!  
　　cot（-α）= -cotα <#vhO^H3  
K/)o4$y  
　　公式四： Au ~T1Q2Sh  
KxH:jZl6  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： jo( -of  
'| +RhHAq  
　　sin（π-α）= sinα Z(hU.{N|  
7,<zmz  
　　cos（π-α）= -cosα K~,bVkW  
Mn*Xkb0[K  
　　tan（π-α）= -tanα [DJh/dSzl  
ci\dn|+J  
　　cot（π-α）= -cotα (g]d3VYI  
!y8Dw0l  
　　公式五： MV2ec I0{  
%z27 HMl  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： C>e_a5  
48jK?:KL  
　　sin（2π-α）= -sinα ISOV} M  
hzO[ U^c  
　　cos（2π-α）= cosα %&[tL=I  
so^<+x/d  
　　tan（2π-α）= -tanα A`Ky_u y  
ADJTJ_(  
　　cot（2π-α）= -cotα Dt'@" Dd  
3SQvB~"i+  
　　公式六： 3eLENsa  
6'\[E?]}q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 7>UWKsz?9  
u% 2C 5#  
　　sin（π/2+α）= cosα nj]+5k]S  
VH?~6'*,  
　　cos（π/2+α）= -sinα f!47(`n  
QNOkzl"ce=  
　　tan（π/2+α）= -cotα WKjqF w-  
p<)Qtvid  
　　cot（π/2+α）= -tanα AkA w  
>Ek> H bAW  
　　sin（π/2-α）= cosα rp92$oXb  
OEf|P+]Pz  
　　cos（π/2-α）= sinα 3xCHe1P8  
6 K[8  
　　tan（π/2-α）= cotα RD-~~3feu  
o;YMu8IX  
　　cot（π/2-α）= tanα gy@~rUI  
H.YPDP  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2)lm@``{  
'hxWYp H  
　　cos（3π/2+α）= sinα up!,/zq  
v2Ru ( d  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %*|db}T),  
j1SkJoFRt  
　　cot（3π/2+α）= -tanα hDNS|mk  
k_-_*|d  
　　sin（3π/2-α）= -cosα fLWl?3 PID  
LX(,UHrD  
　　cos（3π/2-α）= -sinα oPeJ~;%  
j[\$dZ/+  
　　tan（3π/2-α）= cotα MWE\2[@Mb  
5kk}q! H  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,p"BIL  
jKg}oI(ph  
　　(以上k∈Z) oBv"L  
Z<v qIZ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 KEJ !V>?  
8n*5%u a[.  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = !)t&|YY(T_  
je+cRfO ^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } B*. s6  
Qp>\K]X  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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