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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 PGnHC-i  
n[ICyzOD  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ' cu+ m?$=  
Hs aYTA5  
　　1、三角函数本质： ! :6lc a  
;D6WG,<>  
　　三角函数的本质来源于定义 G.e 1jb  
`kj`$G[z  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 J%,}tx "  
`L%}\NJbW  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 `FXh UI.  
E\{dlws  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 3G!gV&c" T  
L}`&Dae  
　　推导： uEkN.7\3E  
2"yNy7<-  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 w}jKX$X[x  
%WL{K,M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) CO4T~fER  
dhDS>"M  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;,(x*Wap;  
p;R67P  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (@U:^pOw9  
SC-h<A0n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;rkb .  
9A{%]g  
　　[1] 0 8  
~3d=Q 0%  
　　两角和公式 @U 9uA$  
A.v2)Mt%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Or)KJ"  
^CWH Ir4  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  1M\w/Z  
n\WTg!  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 8 oC^<K' B  
?>Q9`3aX  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB )`5x!#L2>  
5)d=S9l  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TU4:NOi3  
9VMq5v;=2  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) SwyE4  
@oO/Y\YWI@  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X3Ei~5h~  
?^j:ZT}|  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %hK*4 yw  
jjvm{_  
倍角公式 pgtV  
COB09T11$  
　　Sin2A=2SinA•CosA ij`. 2_  
)9A}t2uq8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 PFyU~YZ 2  
Bm?9 ?;  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M>"[  
]OC:RLi  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） |*4P4:rl0  
Bt5 1wv;'  
三倍角公式 jbQH6  
m} kr6'm  
　　 V:lt~_8D  
L)QO?X  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) wN= B5;c  
1L-<SI^aH  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Ossh0.scW  
qE.}TU_n  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }J,]7avPwP  
' l a>4  
三倍角公式推导 K.\U6[)  
FjazU5un  
　　sin3a 0xy#"{We  
pNHi&,V.~  
　　=sin(2a+a) ,~/yHd  
Z6Up/[6h:  
　　=sin2acosa+cos2asina 0)70Wo  
Fs@J:GL  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,k`d;l  
Bw?rn ^  
　　=3sina-4sin³a |KB"BSYl  
9 80wBI(  
　　cos3a =s'L!d;Z  
`bCiH?2  
　　=cos(2a+a) RCr#Qm;4  
r7Qc1t4'  
　　=cos2acosa-sin2asina R rJWd}  
9~ Ewoo  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bRF%)/5d8  
tNR`'x=a  
　　=4cos³a-3cosa "?Km .8  
){ea>8  
　　sin3a=3sina-4sin³a 67V1&:c6  
.*YEJ.   
　　=4sina(3/4-sin²a)  R~GTj!  
t1+Uc$d_Z  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <y.b38FSI  
51 2=_u  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) =9nAN%)~  
A:7hmt+J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) XLL $J2dB  
7<ysuYH[H  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }V-%.:X  
G5Qi_ !  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) i)mAy6s 2  
t# / 5+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa p>=`{-t-\  
^3rNd( 7+*  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _Wex6s 6 v  
 }&G-/B  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] C99p}  
Y/HNd'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 3? %i#BE=  
4Hl 1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]gSG~d  
1e 07t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3{e#L  
2'|` C+K  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) o\M \6k%  
9[Kti+J  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] u32>*^[x  
P;O#aJ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3 5}'e*dI  
\[},FaE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) uaReXP S  
=z\w2|oI>  
　　上述两式相比可得 :mv^ VI  
USQ d6R^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) (6[|x Yz  
\U<n{Pl  
半角公式 {`T)n5m/@q  
GLIOY/m  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); m5UD&z  
;f[{_,8%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. + jRB;  
MC*jCQ*E  
和差化积 .9a6yyp7h  
$jx7nU+JH  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Q]8`R:I ]  
6 xuUjc&%{  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t@ bQT  
CybP"OHcF  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -Tc6zxd.  
k!{Mx8(wL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rW"7Eh<D  
P;<&K@FJ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >jCsOsa  
Lr+Vr#GI\l  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Hd%}h^$  
_oO eFD1  
积化和差 A:L: {C  
]4hmDnKvb  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] N`hn$  
r 49_&_l;'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0>w}:'{z\  
^q:&\c"F9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] x"-13O!_  
i/"'If0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %gYSg^  
Ce f>X=  
诱导公式 ;FK4^?$$  
ei{:!zVvU  
　　sin(-α) = -sinα t X4K Nb+  
1eb\PpY  
　　cos(-α) = cosα B7FaB  
"Mv'Xv /?  
　　sin(π/2-α) = cosα Ot<w=k[Chf  
X+*EW5S  
　　cos(π/2-α) = sinα G\@y>o&#Ml  
Q3 |G@HS<  
　　sin(π/2+α) = cosα r2TmM'  
#|`Sk9:+  
　　cos(π/2+α) = -sinα y?8GNW#0  
IUQjL8\  
　　sin(π-α) = sinα #@ <c I"#  
0sxNT4AW  
　　cos(π-α) = -cosα & R5Ysz7  
WkN0+ 9 n  
　　sin(π+α) = -sinα ."Vedj  
$LEdi%vf  
　　cos(π+α) = -cosα "IfN{Ta['  
nZ:st/F  
　　tanA= sinA/cosA E7 n(c_-  
f+XD2]#  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα cJ;L; }"  
u>o\~[]7  
　　tan（π/2－α）＝cotα UQ7 {_  
Wy( ]P4  
　　tan（π－α）＝－tanα e&K$cR|(E+  
O|s<59wV  
　　tan（π＋α）＝tanα rt -R$r  
=k%naA=<(  
万能公式 Z3\G# (=  
W "Mm| p  
　　 Z4aa+ 8C0  
l=L JZA  
其它公式 T: 4,sa K  
7ROa?@   
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Bdq$H695 )  
d }<$n^+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 DzLun(|k  
u$,!  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4VuEp-V6  
JQ VK *L\  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -pjobKM[  
x5Nz[i  
　　对于任意非直角三角形,总有 7k;QVcT  
>nFuU  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u.4?@  
+W;xVw"  
　　证: &8h 8~yg  
BM!=zhoZWW  
　　A+B=π-C " k Z/D  
1+,k]Ai  
　　tan(A+B)=tan(π-C) GcqC_/0*G^  
hpN-HQ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) EdK s~c[*f  
(TqRyFZ  
　　整理可得 A]t|Nq  
SCS%"#9,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -57+-$>f  
YwghN6 :\  
　　得证 U<\/:x\/  
lu(UpKk  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 d%=qq]=P  
cA+F!G)  
其他非重点三角函数 xsG*]eG  
>^ esv}-4  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~K$^=}m|I  
\@awJHx  
　　sec(a) = 1/cos(a) /;GuSAHj[  
L65T6o,  
　　 kAgw=\xY  
L#BvT*^D  
双曲函数 %5gKB   
+#R~,`-  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 w(<CQ7+  
W=d9+ih7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 'sL"CH5J  
@YT4!2;&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) SZyRxf=P  
5E/R(U~!  
　　公式一： a `I  
Ya>ND^W  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +0$M;'1_+  
^d[z(kE.  
　　sin（2kπ＋α）= sinα xuWl"]K2cW  
]wtHtj}B}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα M FEz<z(n  
7IO) ; yt  
　　tan（kπ＋α）= tanα R QD> R  
 8 qr  
　　cot（kπ＋α）= cotα "v[/Up]q  
.Lb}i b@  
　　公式二： k:LVQ)t<  
]jB*0/^^  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： }+wpNo|G  
WJe|`oEA  
　　sin（π＋α）= -sinα m8_Og/ n  
IU`S^wzV  
　　cos（π＋α）= -cosα YFnu+Bs&"  
wOYYS8RR  
　　tan（π＋α）= tanα dmSB`<dIY9  
:3)+s9Y+  
　　cot（π＋α）= cotα $DUO_T*^e  
% 8k\<RI4  
　　公式三： ;:dB!7>uv  
K |5"# ^{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >k2\T%%S4$  
JyUI?1XB  
　　sin（-α）= -sinα ;b(Of|`  
K!`#h5#  
　　cos（-α）= cosα $Sx471Of  
C"z& IW  
　　tan（-α）= -tanα I.*zVgnJ  
Y*z $?v)  
　　cot（-α）= -cotα ohl2yJse{=  
J~5?c{.  
　　公式四： W'al_r,  
{(Y9;X/ I  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 09if8  
T,+JJ*9L  
　　sin（π-α）= sinα {l y,]+ Z  
7xe5UeTR  
　　cos（π-α）= -cosα |* n4c(y  
1=!Q<tBn  
　　tan（π-α）= -tanα ?:vKU>  
YjQfa|  
　　cot（π-α）= -cotα NEivt~L7.  
Zd97{<&  
　　公式五： _o~3oo&L  
"nqR$WYY  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `|xoc7f  
j~aAg6K+V  
　　sin（2π-α）= -sinα TY]qzO7x  
KF-DPh  
　　cos（2π-α）= cosα J#2C 9WAs  
R&`4V#\?  
　　tan（2π-α）= -tanα ~:!w\A3'  
,x'6mY]re}  
　　cot（2π-α）= -cotα b 0l&;0  
(Rbxr-}]Q  
　　公式六： 6x&^hVDh  
i[MBm   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @b) ( F[#  
WgQrzZyhj  
　　sin（π/2+α）= cosα x--#]N  
dkBku ,yj  
　　cos（π/2+α）= -sinα O53 ?yQ  
y4 RnMF59  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4DZLzrp_  
#\LDo)m9t  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~FAu8muG  
T;b+ hXmR  
　　sin（π/2-α）= cosα fO$25IQGD  
3 (_wZjOU  
　　cos（π/2-α）= sinα F k H'  
ZNSF+x'T  
　　tan（π/2-α）= cotα ^^d[I( s  
P5W4%4<xi  
　　cot（π/2-α）= tanα vzD}C-fVaN  
,\Ai}!t  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n|H)]+r8  
<zNWV^E  
　　cos（3π/2+α）= sinα P6SNS=U=QK  
-L!;jG}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα rK\K#  
Q,U92W  
　　cot（3π/2+α）= -tanα LCc0!LXEM  
4#SG@;v  
　　sin（3π/2-α）= -cosα tckkZ~  
`h&~?q  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,t J^=&f  
uhtavj  
　　tan（3π/2-α）= cotα DaFj*_b92  
UR\h Z4_  
　　cot（3π/2-α）= tanα yt) C[P  
Zr2g H<  
　　(以上k∈Z) mtTPY7br  
I#=Qbl[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 hYLsZpa  
%[g1| ;  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 3 -##>]  
C#n=vd  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }ftM@bk]Q  
p< P$kK/  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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